有一种计算素数的新方法

为了在数论最基本的问题之一上取得进展，两位数学家向一个意想不到的地方寻求帮助。

新的证明使数学家们更接近于理解“算术原子”——素数的隐藏顺序。

质数（只能被自身和 1 整除的数字）是数学中最基本的组成部分。它们也是最神秘的。乍一看，它们似乎随机散布在数轴上。但当然，质数不是随机的。它们是完全确定的，仔细观察就会发现各种奇怪的模式，数学家们花了几个世纪的时间试图解开它们。更好地了解质数的分布方式将照亮数学宇宙的广阔领域

然而，尽管数学家们有公式可以大致了解素数的位置，但他们无法准确指出它们。因此，他们不得不采取一种更间接的方法。

大约公元前 300 年，欧几里得证明了有无数个素数。此后，数学家们以他的定理为基础，证明了满足其他条件的素数也有同样的结论。（举个简单的例子：是否有无数个不包含数字 7 的素数？）随着时间的推移，数学家们将这些标准变得越来越严格。通过证明仍有无数个素数满足这些日益严格的限制，他们能够更多地了解素数的位置。

但这些说法很难证实。“目前这样的结果并不多，”芬兰图尔库大学的约尼·特拉维宁 (Joni Teräväinen ) 说道。

现在，两位数学家——牛津大学的本·格林和哥伦比亚大学的梅塔布·索尼——已经证明了这一命题适用于一种特别具有挑战性的素数。他们的证明于 10 月在网上发布，不仅加深了数学家对素数的理解。它还利用了一套来自非常不同数学领域的工具，这表明这些工具比数学家想象的要强大得多，而且可能在其他领域得到应用。

多伦多大学的约翰·弗里德兰德说：“这太棒了。他们这样做真的让我很惊讶。”

尝试

数学家们倾向于研究那些复杂到足以引起人们兴趣但又足够简单以便取得进展的素数族。例如，他们可能会试图证明有无数个相隔 500 个单位的素数。或者我们可以通过把其他数字的平方相加来构造无数个素数。

约瑟夫豪利特科学2025 年 1 月 19 日上午 7:00 有一种计算素数的新方法 为了在数论最基本的问题之一上取得进展，两位数学家向一个意想不到的地方寻求帮助。 图片可能包含人物 摄影：Samuel Velasco/ Quanta Magazine

节省 原始版本 该故事 的部分内容刊登在《Quanta Magazine》杂志上。

新的证明使数学家们更接近于理解“算术原子”——素数的隐藏顺序。

质数（只能被自身和 1 整除的数字）是数学中最基本的组成部分。它们也是最神秘的。乍一看，它们似乎随机散布在数轴上。但当然，质数不是随机的。它们是完全确定的，仔细观察就会发现各种奇怪的模式，数学家们花了几个世纪的时间试图解开它们。更好地了解质数的分布方式将照亮数学宇宙的广阔领域。

然而，尽管数学家们有公式可以大致了解素数的位置，但他们无法准确指出它们。因此，他们不得不采取一种更间接的方法

大约公元前 300 年，欧几里得证明了有无数个素数。此后，数学家们以他的定理为基础，证明了满足其他条件的素数也有同样的结论。（举个简单的例子：是否有无数个不包含数字 7 的素数？）随着时间的推移，数学家们将这些标准变得越来越严格。通过证明仍有无数个素数满足这些日益严格的限制，他们能够更多地了解素数的位置。

但这些说法很难证实。“目前这样的结果并不多，”芬兰图尔库大学的约尼·特拉维宁 (Joni Teräväinen ) 说道。

现在，两位数学家——牛津大学的本·格林和哥伦比亚大学的梅塔布·索尼——已经证明了这一命题适用于一种特别具有挑战性的素数。他们的证明于 10 月在网上发布，不仅加深了数学家对素数的理解。它还利用了一套来自非常不同数学领域的工具，这表明这些工具比数学家想象的要强大得多，而且可能在其他领域得到应用。

多伦多大学的约翰·弗里德兰德说：“这太棒了。他们这样做真的让我很惊讶。”

尝试 数学家们倾向于研究那些复杂到足以引起人们兴趣但又足够简单以便取得进展的素数族。例如，他们可能会试图证明有无数个相隔 500 个单位的素数。或者我们可以通过把其他数字的平方相加来构造无数个素数。

图片可能包含配饰正装领带成人服装头巾套装和头饰 令 Mehtaab Sawhney 惊讶的是，他意识到自己今年早些时候所做的工作对于解决数论中一个看似不相关的重大问题至关重要。

最后这个限制特别有用，引领了数个世纪的数学进步。1640 年，皮埃尔·德·费马推测，通过对两个整数求平方并将它们相加，可以得到无穷多个素数。（例如，素数 13 可以写成 2 2 + 3 2。）莱昂哈德·欧拉后来证明了这一点。但只要稍微调整一下这个问题——坚持要求你求平方的数字之一可能是奇数，或者是一个完全平方数——就会让问题变得更加困难。“你对一个集合的限制越多，在其中找到素数就越困难，”格林说。

在 19 世纪，对这类陈述的研究促成了现代数论的大量发展。在 20 世纪，它帮助启发了迄今为止最雄心勃勃的数学努力之一，即朗兰兹纲领。而在 21 世纪，对这类素数的研究继续产生新技术和新见解。

2018 年，弗里德兰德和罗格斯大学的亨利克·伊万尼克 (Henryk Iwaniec)提出一个问题：是否存在无穷多个p 2 + 4 q 2形式的素数，其中p和q都必须是素数。（例如，41 = 5 2 + 4 × 2 2。）这个约束条件特别难处理。但如果数学家能够解决这个问题，他们就能成功地对素数施加新的控制——这正是他们一直希望做到的。

富有成果的访问 格林和索尼之前都没有玩过这种类型的素数计数游戏。但他们都有研究素数产生的奇怪模式的经验。

7 月，两位数学家在爱丁堡的一次会议上见面。刚从研究生院毕业的索尼一直很钦佩格林。索尼说，格林 20 年前证明的一项开创性成果是“吸引我研究这个课题的原因之一”。“我当时想，‘天哪，你怎么能做到这一点？’”格林也对这位年轻的数学家印象深刻。“梅塔布是一位非常杰出的数学家，”他说。“他无所不知。” 两人决定合作。他们只需要找到合适的问题来解决。经过一番讨论，他们选择了弗里德兰德和伊万尼克的猜想。

约瑟夫豪利特科学2025 年 1 月 19 日上午 7:00 有一种计算素数的新方法 为了在数论最基本的问题之一上取得进展，两位数学家向一个意想不到的地方寻求帮助。

新的证明使数学家们更接近于理解“算术原子”——素数的隐藏顺序。

质数（只能被自身和 1 整除的数字）是数学中最基本的组成部分。它们也是最神秘的。乍一看，它们似乎随机散布在数轴上。但当然，质数不是随机的。它们是完全确定的，仔细观察就会发现各种奇怪的模式，数学家们花了几个世纪的时间试图解开它们。更好地了解质数的分布方式将照亮数学宇宙的广阔领域。

然而，尽管数学家们有公式可以大致了解素数的位置，但他们无法准确指出它们。因此，他们不得不采取一种更间接的方法

大约公元前 300 年，欧几里得证明了有无数个素数。此后，数学家们以他的定理为基础，证明了满足其他条件的素数也有同样的结论。（举个简单的例子：是否有无数个不包含数字 7 的素数？）随着时间的推移，数学家们将这些标准变得越来越严格。通过证明仍有无数个素数满足这些日益严格的限制，他们能够更多地了解素数的位置。

但这些说法很难证实。“目前这样的结果并不多，”芬兰图尔库大学的约尼·特拉维宁 (Joni Teräväinen ) 说道。

现在，两位数学家——牛津大学的本·格林和哥伦比亚大学的梅塔布·索尼——已经证明了这一命题适用于一种特别具有挑战性的素数。他们的证明于 10 月在网上发布，不仅加深了数学家对素数的理解。它还利用了一套来自非常不同数学领域的工具，这表明这些工具比数学家想象的要强大得多，而且可能在其他领域得到应用。

多伦多大学的约翰·弗里德兰德说：“这太棒了。他们这样做真的让我很惊讶。”

尝试 数学家们倾向于研究那些复杂到足以引起人们兴趣但又足够简单以便取得进展的素数族。例如，他们可能会试图证明有无数个相隔 500 个单位的素数。或者我们可以通过把其他数字的平方相加来构造无数个素数。

图片可能包含配饰正装领带成人服装头巾套装和头饰 令 Mehtaab Sawhney 惊讶的是，他意识到自己今年早些时候所做的工作对于解决数论中一个看似不相关的重大问题至关重要。

最后这个限制特别有用，引领了数个世纪的数学进步。1640 年，皮埃尔·德·费马推测，通过对两个整数求平方并将它们相加，可以得到无穷多个素数。（例如，素数 13 可以写成 2 2 + 3 2。）莱昂哈德·欧拉后来证明了这一点。但只要稍微调整一下这个问题——坚持要求你求平方的数字之一可能是奇数，或者是一个完全平方数——就会让问题变得更加困难。“你对一个集合的限制越多，在其中找到素数就越困难，”格林说。

在 19 世纪，对这类陈述的研究促成了现代数论的大量发展。在 20 世纪，它帮助启发了迄今为止最雄心勃勃的数学努力之一，即朗兰兹纲领。而在 21 世纪，对这类素数的研究继续产生新技术和新见解。

2018 年，弗里德兰德和罗格斯大学的亨利克·伊万尼克 (Henryk Iwaniec)提出一个问题：是否存在无穷多个p 2 + 4 q 2形式的素数，其中p和q都必须是素数。（例如，41 = 5 2 + 4 × 2 2。）这个约束条件特别难处理。但如果数学家能够解决这个问题，他们就能成功地对素数施加新的控制——这正是他们一直希望做到的。

富有成果的访问 格林和索尼之前都没有玩过这种类型的素数计数游戏。但他们都有研究素数产生的奇怪模式的经验。

7 月，两位数学家在爱丁堡的一次会议上见面。刚从研究生院毕业的索尼一直很钦佩格林。索尼说，格林 20 年前证明的一项开创性成果是“吸引我研究这个课题的原因之一”。“我当时想，‘天哪，你怎么能做到这一点？’”格林也对这位年轻的数学家印象深刻。“梅塔布是一位非常杰出的数学家，”他说。“他无所不知。”

两人决定合作。他们只需要找到合适的问题来解决。经过一番讨论，他们选择了弗里德兰德和伊万尼克的猜想。

格林邀请索尼到牛津大学呆了一周。他们知道，为了证明类似的猜想，数学家通常要依靠一套特定的计数技术。但由于他们问题中的素数定义非常严格，格林和索尼无法找到让这套传统工具发挥作用的方法。

相反，他们希望用一种更迂回的方式来证明这个猜想——通过某种数学棋步。但首先，他们必须证明他们被允许走这一步。

到 Sawhney 访问结束时，他和 Green 已经想出了如何做到这一点——这让他们得以证明这个猜想。为此，他们最终与数学的另一个领域建立了令人惊讶的联系。

尝试另一套 格林和索尼不可能直接计算出两个其他素数的平方和相加后得到的素数的数量。但如果他们稍微放松一下限制会怎么样？他们意识到他们可以解决一个稍微弱一点的问题——其中平方的数字只需要“大致”是素数。

粗略素数比素数更容易找到。假设你想计算 1 到 200 之间的所有粗略素数。首先，考虑一些最小的素数，如 2、3、5 和 7。然后列出所有不能被这些素数整除的数字。这些数字就是粗略素数。在这种情况下，你最终会得到 50 个粗略素数：其中 46 个实际上是素数，而其余四个（121、143、169 和 187）不是。由于粗略素数的随机分布比素数少得多，因此它们更容易处理。“粗略素数是一个我们非常了解的集合，”Sawhney 说。

格林和索尼证明了，通过对两个粗略素数求平方并将它们相加，可以得到无穷多个素数。现在他们只需证明这个陈述可以暗示他们真正想要解决的问题：同样，有无穷多个素数可以写成实际素数的平方和。

但这并不明显。他们必须针对问题的每个版本分析一组特殊的函数，称为 I 型和 II 型和，然后证明无论使用哪种约束，这些和都是等价的。只有这样，Green 和 Sawhney 才知道他们可以在不丢失信息的情况下将粗略素数代入证明中。

他们很快意识到：他们可以使用之前各自独立遇到的工具来证明这些和是等价的。这个工具被称为 Gowers 范数，是几十年前由数学家Timothy Gowers开发的，用于测量函数或数字集的随机性或结构性。从表面上看，Gowers 范数似乎属于完全不同的数学领域。“作为一个局外人，几乎不可能分辨出这些东西是相关的，”Sawhney 说。

约瑟夫豪利特科学2025 年 1 月 19 日上午 7:00 有一种计算素数的新方法 为了在数论最基本的问题之一上取得进展，两位数学家向一个意想不到的地方寻求帮助。

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质数（只能被自身和 1 整除的数字）是数学中最基本的组成部分。它们也是最神秘的。乍一看，它们似乎随机散布在数轴上。但当然，质数不是随机的。它们是完全确定的，仔细观察就会发现各种奇怪的模式，数学家们花了几个世纪的时间试图解开它们。更好地了解质数的分布方式将照亮数学宇宙的广阔领域。

然而，尽管数学家们有公式可以大致了解素数的位置，但他们无法准确指出它们。因此，他们不得不采取一种更间接的方法。

大约公元前 300 年，欧几里得证明了有无数个素数。此后，数学家们以他的定理为基础，证明了满足其他条件的素数也有同样的结论。（举个简单的例子：是否有无数个不包含数字 7 的素数？）随着时间的推移，数学家们将这些标准变得越来越严格。通过证明仍有无数个素数满足这些日益严格的限制，他们能够更多地了解素数的位置。

但这些说法很难证实。“目前这样的结果并不多，”芬兰图尔库大学的约尼·特拉维宁 (Joni Teräväinen ) 说道。

现在，两位数学家——牛津大学的本·格林和哥伦比亚大学的梅塔布·索尼——已经证明了这一命题适用于一种特别具有挑战性的素数。他们的证明于 10 月在网上发布，不仅加深了数学家对素数的理解。它还利用了一套来自非常不同数学领域的工具，这表明这些工具比数学家想象的要强大得多，而且可能在其他领域得到应用。

多伦多大学的约翰·弗里德兰德说：“这太棒了。他们这样做真的让我很惊讶。”

尝试 数学家们倾向于研究那些复杂到足以引起人们兴趣但又足够简单以便取得进展的素数族。例如，他们可能会试图证明有无数个相隔 500 个单位的素数。或者我们可以通过把其他数字的平方相加来构造无数个素数。

图片可能包含配饰正装领带成人服装头巾套装和头饰 令 Mehtaab Sawhney 惊讶的是，他意识到自己今年早些时候所做的工作对于解决数论中一个看似不相关的重大问题至关重要。

最后这个限制特别有用，引领了数个世纪的数学进步。1640 年，皮埃尔·德·费马推测，通过对两个整数求平方并将它们相加，可以得到无穷多个素数。（例如，素数 13 可以写成 2 2 + 3 2。）莱昂哈德·欧拉后来证明了这一点。但只要稍微调整一下这个问题——坚持要求你求平方的数字之一可能是奇数，或者是一个完全平方数——就会让问题变得更加困难。“你对一个集合的限制越多，在其中找到素数就越困难，”格林说。

在 19 世纪，对这类陈述的研究促成了现代数论的大量发展。在 20 世纪，它帮助启发了迄今为止最雄心勃勃的数学努力之一，即朗兰兹纲领。而在 21 世纪，对这类素数的研究继续产生新技术和新见解。

2018 年，弗里德兰德和罗格斯大学的亨利克·伊万尼克 (Henryk Iwaniec)提出一个问题：是否存在无穷多个p 2 + 4 q 2形式的素数，其中p和q都必须是素数。（例如，41 = 5 2 + 4 × 2 2。）这个约束条件特别难处理。但如果数学家能够解决这个问题，他们就能成功地对素数施加新的控制——这正是他们一直希望做到的。

富有成果的访问 格林和索尼之前都没有玩过这种类型的素数计数游戏。但他们都有研究素数产生的奇怪模式的经验。

7 月，两位数学家在爱丁堡的一次会议上见面。刚从研究生院毕业的索尼一直很钦佩格林。索尼说，格林 20 年前证明的一项开创性成果是“吸引我研究这个课题的原因之一”。“我当时想，‘天哪，你怎么能做到这一点？’”格林也对这位年轻的数学家印象深刻。“梅塔布是一位非常杰出的数学家，”他说。“他无所不知。”

两人决定合作。他们只需要找到合适的问题来解决。经过一番讨论，他们选择了弗里德兰德和伊万尼克的猜想。

牛津大学数学家本·格林 (Ben Green) 对素数的神秘模式非常着迷。 格林邀请索尼到牛津大学呆了一周。他们知道，为了证明类似的猜想，数学家通常要依靠一套特定的计数技术。但由于他们问题中的素数定义非常严格，格林和索尼无法找到让这套传统工具发挥作用的方法。

相反，他们希望用一种更迂回的方式来证明这个猜想——通过某种数学棋步。但首先，他们必须证明他们被允许走这一步。

到 Sawhney 访问结束时，他和 Green 已经想出了如何做到这一点——这让他们得以证明这个猜想。为此，他们最终与数学的另一个领域建立了令人惊讶的联系。

尝试另一套 格林和索尼不可能直接计算出两个其他素数的平方和相加后得到的素数的数量。但如果他们稍微放松一下限制会怎么样？他们意识到他们可以解决一个稍微弱一点的问题——其中平方的数字只需要“大致”是素数。

粗略素数比素数更容易找到。假设你想计算 1 到 200 之间的所有粗略素数。首先，考虑一些最小的素数，如 2、3、5 和 7。然后列出所有不能被这些素数整除的数字。这些数字就是粗略素数。在这种情况下，你最终会得到 50 个粗略素数：其中 46 个实际上是素数，而其余四个（121、143、169 和 187）不是。由于粗略素数的随机分布比素数少得多，因此它们更容易处理。“粗略素数是一个我们非常了解的集合，”Sawhney 说。

塔玛·齐格勒在素数方面的开创性工作使得研究人员能够将一种名为 Gowers 范数的数学技术移植到新领域。 图片：Andrea Kane/高等研究院

格林和索尼证明了，通过对两个粗略素数求平方并将它们相加，可以得到无穷多个素数。现在他们只需证明这个陈述可以暗示他们真正想要解决的问题：同样，有无穷多个素数可以写成实际素数的平方和。

但这并不明显。他们必须针对问题的每个版本分析一组特殊的函数，称为 I 型和 II 型和，然后证明无论使用哪种约束，这些和都是等价的。只有这样，Green 和 Sawhney 才知道他们可以在不丢失信息的情况下将粗略素数代入证明中。

他们很快意识到：他们可以使用之前各自独立遇到的工具来证明这些和是等价的。这个工具被称为 Gowers 范数，是几十年前由数学家Timothy Gowers开发的，用于测量函数或数字集的随机性或结构性。从表面上看，Gowers 范数似乎属于完全不同的数学领域。“作为一个局外人，几乎不可能分辨出这些东西是相关的，”Sawhney 说。

但格林和索尼利用数学家陶哲轩和塔玛·齐格勒在 2018 年证明的一项里程碑式成果，找到了一种方法来建立 Gowers 范数与 I 型和 II 型和之间的联系。本质上，他们需要使用 Gowers 范数来证明他们的两组素数（使用粗素数构建的集合和使用实素数构建的集合）足够相似。

事实证明，Sawhney 知道如何做到这一点。今年早些时候，为了解决一个不相关的问题，他开发了一种使用 Gowers 范数比较集合的技术。令他惊讶的是，这项技术足以显示这两个集合具有相同的 I 型和 II 型和。

有了这个，格林和索尼证明了弗里德兰德和伊万尼克的猜想：有无穷多个素数可以写成p 2 + 4 q 2。最终，他们能够扩展他们的结果，证明也有无穷多个素数属于其他类型的素数族。这一结果标志着一类通常很难取得进展的问题取得了重大突破。

更重要的是，这项研究表明，高尔斯范数可以在一个新领域中发挥强大作用。弗里德兰德说：“因为它非常新，至少在数论的这个领域，它有潜力做很多其他的事情。”数学家现在希望进一步扩大高尔斯范数的范围——尝试用它来解决数论中除计算素数之外的其他问题。

“看到我以前想过的东西有了意想不到的新用途，我感到很有趣，”齐格勒说。“就像作为父母，当你放开孩子，他们长大后会做出神秘、意想不到的事情一样。”